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自动驾驶运动规划-Reeds Shepp曲线

相比于Dubins Car只允许车辆向前运动,Reeds Shepp Car既允许车辆向前运动,也允许车辆向后运动。

Reeds Shepp Car运动规划

1、车辆模型

车辆运动模型仍然采用Simple Car Model,但增加对车辆运动方向的描述,运动方程如下:

$\dot{x} = u_1 cos{\theta}$

$\dot{y} = u_1 sin{\theta}$

$\dot{\theta} = u_1 u_2$

其中,$u_1 \in \{-1, 1\}$,$u_2 \in [-tan \phi_{max}, tan \phi_{max}]$。当$u_1 = 1$时,表示车辆向前运动;$u_1=-1$时,表示车辆向后运动。

2、Reeds-Shepp Car

J Reeds和L Shepp证明Reeds Shepp Car从起点$q_I$到终点$q_G$的最短路径一定是下面的word的其中之一。word中的”|”表示车辆运动朝向由正向转为反向或者由反向转为正向。

图片来源:Planning Algorithm,http://planning.cs.uiuc.edu/node822.html

每个word都由$L^{+}$,$L^{-}$,$R^{+}$,$R^{-}$,$S^{+},$S^{-}$这六种primitives组成,其中$L^{+}$表示车辆左转前进;$L^{-}$表示车辆左转后退;$R^{+}$表示车辆右转前进;$R^{-}$表示车辆右转后退;$S^{+}$表示车辆直行前进;$S^{-}$表示车辆直行后退。

Reeds and Shepp曲线的word所有组合不超过48种,所有的组合一一枚举如下:

图片来源:Planning Algorithm,http://planning.cs.uiuc.edu/node822.html

3、计算过程优化

3.1 位置姿态统一化

车辆的起点和终点的位置姿态是难以穷举的,所以一般在计算之前,会将车辆的姿态归一化:

起始姿态:$q_I = (0, 0, 0)$;

目标姿态:$q_G=(x, y, \phi)$;其中,$\phi=\theta_2 – \theta_1$

车辆的转弯半径: r = 1;

假设车辆的初始姿态为$q_I = (x_1, y_1, \theta_1)$,目标姿态$q_G=(x_2, y_2, \theta_2)$,车辆的转向半径为r = $\rho$,如何实现姿态的归一化呢,实际上归一化的过程就是向量的平移和旋转过程。

首先将向量$\vec{q_I q_G}$平移到坐标原点(0,0)。平移$q_I$到O(0, 0),平移向量为$(-x_1, -y_1)$;对$q_G$应用同样的平移向量:$q_G = [x_2 – x_1, y_2 – y_1]$,最后得到平移后的向量:

$$
\vec{q_I q_G} =
\begin{bmatrix}
x_2 – x_1 \\
y_2 – y_1 \\
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
d_x \\
d_y \\
\end{bmatrix}
$$

应用旋转矩阵,将车辆的起点朝向转到x轴正向:

$$
\begin{bmatrix}
cos \theta_1 & sin \theta_1 \\
-sin \theta_1 & cos \theta_1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
d_x \\
d_y \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
d_x cos \theta_1 + d_y sin \theta_1 \\
-d_x sin \theta_1 + d_y cos \theta_1 \\
\end{bmatrix}
$$

旋转之后,目标位置朝向更新为$\phi = \theta_2 – \theta_1$。

将车辆转向半径缩放到1,于是最终得到车辆运动的起始姿态:

$$
I =
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
$$

目标姿态:

$$
G=
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\phi
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
(d_x cos \theta_1 + d_y sin \theta_1) / \rho \\
(-d_x sin \theta_1 + d_y cos \theta_1 ] / \rho \\
\theta2 – \theta_1
\end{bmatrix}
$$

代码如下:

double x1 = s1->getX(), y1 = s1->getY(), th1 = s1->getYaw();
double x2 = s2->getX(), y2 = s2->getY(), th2 = s2->getYaw();
double dx = x2 - x1, dy = y2 - y1, c = cos(th1), s = sin(th1);
double x = c * dx + s * dy, y = -s * dx + c * dy, phi = th2 - th1;

return ::reedsShepp(x / rho_, y / rho_, phi)

3.2 利用对称关系降低求解复杂度

Reeds Shepp曲线有48种组合,编程时一一编码计算比较麻烦,因此可以利用其对称性降低求解工作量。

以转向不同的CSC类型为例,它包含4种曲线类型:$L^{+}S^{+}R^{+}$、$L^{-}S^{-}R^{-}$、$R^{+}S^{+}L^{+}$、$R^{-}S^{-}R^{-}$,我们只需要编码推导得到$L^{+}S^{+}R^{+}$的计算过程,其它几种直接可以通过对称性关系得到车辆运动路径。

给定车辆起始姿态$q_I=(160, 160, 0)$,目标姿态$q_G=(190, 180, 30)$,可以得到$L^{+}S^{+}R^{+}$的运动路径如下:

{ Steering: left        Gear: forward   distance: 0.63 }
{ Steering: straight    Gear: forward   distance: 4.02 }
{ Steering: right        Gear: forward   distance: 0.11 }

车辆先左转、再直行、最后右转的运动效果如下:

$L^{+}S^{+}R^{+}$类型曲线

下面看看利用对称性求解其它几种路径的方法。

3.2.1 timefilp对称性

假设我们推导出从起始姿态$q_I(x_1,y_1, \theta_1)$达到目标姿态$(x_2, y_2, \theta_2)$的路径计算方法:

path = calc_path($x_1$, $y_1$, $\theta_1$, $x_2$, $y_2$, $\theta_2$)

利用对称性,将目标Pose修改为$(-x_2, y_2, -\theta_2)$,代入同样的Path计算函数:

path = calc_path($x_1$, $y_1$, $\theta_1$, -$x_2$, $y_2$, -$\theta_2$)

就得到从$(x_1, y_1, \theta_1)$到$(x_2, y_2, \theta_2)$的$L^{-}S^{-}R^{-}$类型的运动路径。

计算出的$L^{-}S^{-}R^{-}$的车辆运动路径如下:

{ Steering: left        Gear: backward  distance: -2.85 }
{ Steering: straight    Gear: backward  distance: 4.02 }
{ Steering: right        Gear: backward  distance: -2.32 }

下面是车辆的运动效果,先左转、再直行、最后右转一路倒车进入另一个车位。

$L^{-}S^{-}R^{-}$类型曲线

3.2.2 reflect对称性

将目标姿态修改为$(x_2, -y_2, -\theta_2)$,代入同样的Path计算函数:

path = calc_path($x_1$, $y_1$, $\theta_1$, $x_2$, -$y_2$, -$\theta_2$)

就得到从$(x_1, y_1, \theta_1)$到$(x_2, y_2, \theta_2)$的$R^{+}S^{+}L^{+}$类型的运动路径。

计算出的$R^{+}S^{+}L^{+}$的车辆运动路径如下:

{ Steering: right        Gear: forward   distance: -0.56 }
{ Steering: straight    Gear: forward   distance: 5.28 }
{ Steering: left        Gear: forward   distance: -0.03 }

下面是车辆先右转、再直行、再左转从一个车位进入另一个车位的运动效果。

$R^{+}S^{+}L^{+}$类型曲线

3.2.3 timeflip + reflect

结合timeflip对称性和reflect对称性,将目标姿态修改为$(-x_2, -y_2, \theta_2)$,代入同样的Path计算函数:

path = calc_path($x_1$, $y_1$, $\theta_1$, -$x_2$, -$y_2$, $\theta_2$)

就得到从$(x_1, y_1, \theta_1)$到$(x_2, y_2, \theta_2)$的$R^{-}S^{-}L^{-}$类型的运动路径。

计算出的$R^{-}S^{-}L^{-}$的车辆运动路径如下:

{ Steering: right    Gear: backward  distance: -1.86 }
{ Steering: straight    Gear: backward  distance: 5.28 }
{ Steering: left    Gear: backward  distance: -2.38 }

下面是车辆先右转、再直行、再左转,全程倒车从一个车位进入另一个车位的运动效果。

$R^{-}S^{-}L^{-}$类型曲线
$R^{-}S^{-}L^{-}$类型曲线

通过对称性,48种不同的Reeds Shepp曲线通过不超过12个函数就可以得到全部运动路径。

参考链接

1、Optimal paths for a car that goes both forwards and backwards, J Reeds, L Shepp – Pacific journal of mathematics, 1990

2、OMPL的Reeds Sheep实现代码。(https://ompl.kavrakilab.org/ReedsSheppStateSpace_8cpp_source.html)

3、Reeds Sheep的Python代码实现。(https://github.com/nathanlct/reeds-shepp-curves/blob/master/reeds_shepp.py)

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